V poviedke Ako leopard prišiel k svojim škvrnám zo zbierky Bájky i nebájky vysvetlil spisovateľ Rudyard Kipling leopardie škvrny ako jednoducho namaľované. Aj keď príroda kreslí zvieracie vzory zložitejšie ako prikladaním štetca, dajú sa popísať a simulovať elegantnou matematikou.
V predchádzajúcom čísle sme si povedali, ako sa difúzia objavuje v klasickej a kvantovej fyzike aj v ekonómii. Ďalšou vednou oblasťou, kde má difúzia zaujímavé dôsledky, je biológia.
Turingove vzory
Britský matematik Alan Turing bol všestranný – vyriešil jeden z najťažších matematických problémov (problém rozhodnuteľnosti), položil základy informatiky (Turingov stroj) a umelej inteligencie (Turingov test) a tiež prispel k vojnovému úsiliu dešifrovaním tajnej nemeckej komunikácie.
V roku 1952 sa zameral na biológiu. Zaujímalo ho, ako sa zo symetrického zárodku – takmer guľôčky buniek – stane asymetrické embryo s definovanou hlavou a končatinami. V článku Chemické základy morfogenézy predstavil tzv. reakčno-difúzny model, ktorý ukazuje, ako jednoduché rovnice môžu viesť k zložitým vzorom.
Ako názov napovedá, reakčno-difúzny model spája dva javy, difúziu a chemické reakcie. Difúzia je jednoducho šírenie sa látky do okolia, z oblasti s vyššou koncentráciou do oblasti s nižšou koncentráciou, rýchlosťou určenou koeficientom difúzie. Ak kvapneme atrament do misky s vodou, postupne sa rozptýli vo vode a zafarbí ju. Reakcia znamená, že látka, napríklad pigment v našom atramente, sa premieňa na inú, prípadne vzniká z inej, čím sa jej koncentrácia znižuje, respektíve zvyšuje.
Súťaž dvoch procesov
Reakčno-difúzny model vzniku vzorov je založený na vzájomnom pôsobení dvoch látok A a B. Obe difundujú do okolia, každá svojou vlastnou rýchlosťou a tiež ovplyvňujú svoju reaktivitu. Napríklad prítomnosť látky B spôsobuje, že látka A sa rozpadá, a naopak, prítomnosť látky A stimuluje svoju ďalšiu produkciu. Potom ak je látka A farebná a intenzita farby závisí od jej koncentrácie, vzájomné pôsobenie difúzie a reakcií vytvorí farebné plochy koncentrovanej látky A striedajúce sa s bezfarebnými zónami s dominantnou látkou B.
Takýto proces popisujú previazané diferenciálne rovnice, ktoré je ťažké riešiť analyticky – pomocou pera a papiera, ale ľahko sa riešia numericky na počítači. To bola ďalšia Turingova motivácia k štúdiu vzorov – hľadal tému, na ktorú by mohol použiť novopostavený manchesterský superpočítač. V jeho pôvodnom modeli nebola látka A priamo farbou, ale akýmsi faktorom, ktorý v bunkách podporoval produkciu pigmentu alebo tiež rast ďalších buniek. Stimuláciou rastu mala reakcia a difúzia viesť k vzniku končatín a iných výbežkov na pôvodne symetrickom zárodku. Napriek tomu, že organizmy sú zložitejšie ako takýto jednoduchý model, Turingova práca inšpirovala podrobnejšie štúdie, ktoré biologické otázky naozaj zodpovedali.
Duny, kryštály, galaxie a halucinácie
Témou tejto minisérie o difúzii sú presahy medzi vednými odbormi. Inak to nie je ani s formovaním vzorov. Piesočné zrnká unášané vetrom na púšti sa zachytia o malú prekážku, napríklad kamienok. Tým sa prekážka zväčší a postupne nabaľuje ďalšie zrnká až vznikne duna. Tá rastie do istej veľkosti, keď sa začne rozsýpať pod svojou vlastnou váhou a tiež funguje ako vetrolam – ďalšia duna môže vznikať až v dostatočnej vzdialenosti za ňou. Výsledkom sú typické pásy dún.
Podobné procesy sa dajú nájsť pri raste kryštálov, formovaní galaxií alebo dokonca v nervových signáloch spôsobujúcich videnie vzorov po užití halucinogénnych drog. Všetky sú popísané podobnými rovnicami líšiacimi sa v detailoch špecifických pre dané situácie. To spôsobuje, že vzory v takých rôznych systémoch vykazujú až zarážajúcu podobnosť.
Text a ilustrácia Lukáš Konečný
Univerzita v Tromsø, Nórsko
Viac podobných článkov nájdete na stránke vedator.space.
