Keď štvorec otočíte o 90 stupňov, bude vyzerať rovnako. V zrkadle sa pozeráte na človeka, ktorý je takmer rovnaký ako vy. Keď za sviatočným stolom poprehadzujete hostí, naďalej ide o tú istú skupinu ľudí.
Tieto transformácie – rotácie, zrkadlenia, permutácie – sú symetriami danej situácie. No symetrie siahajú ďalej.
Matematické zovšeobecnenia
Keď pustíte z ruky kľúče, padnú na zem. Keď sa otočíte o 90 stupňov a znova ich pustíte, budú padať úplne rovnako. Ak spravíte zopár krokov dopredu a nenarazíte pritom do steny, opäť bude pád kľúčov vyzerať tak isto. A to platí aj pre každý iný objekt, ktorý z ruky pustíte. Na matematickej úrovni sa na tieto zábavky dá pozerať ako na transformácie pohybových rovníc – posunutia a rotácie. A výsledok je ten, že pohybové zákony sú s nimi symetrické.
Matematickým popisom transformácií a symetrií je koncept grupy. V ňom sa predsudky z našich (prí)zemných skúseností stratia a študujeme iba základné vlastnosti abstraktného pojmu. Podobne ako sa v predstave čísla tri stratí predstava troch stromov alebo troch pohárov kofoly a zisťuje sa, čo platí alebo neplatí pre čokoľvek, čo je popísané trojkou. A objaví sa napríklad koncept záporných čísel, aj keď mínus tri kofoly vo svete nenájdete. Takto sa dá študovať, čo všetko musí a čo môže platiť pre systém, ktorý má danú – napríklad rotačnú – symetriu.
Formulovanie fyzikálnych teórií
Transformácie a symetrie však môžu fungovať v abstraktnejšom zmysle slova. Nemusí ísť len o zmeny v skutočnom priestore, ale aj o komplikovanejšie myšlienky. Napríklad keď sa na tú istú situáciu pozerajú dvaja ľudia, ktorí sa vzhľadom na seba pohybujú. Obľúbeným príkladom je človek na nástupišti vlakovej stanice a človek vo vagóne. Prechod od jedného pohľadu k druhému je transformáciou – hovoríme jej zmena vzťažnej sústavy – a to, že fyzikálne zákony vyzerajú rovnako pre oboch, je symetriou klasickej mechaniky.
A môže to ísť ešte ďalej. V elektromagnetizme je napríklad pre pohyb v elektrickom poli dôležité iba napätie, teda rozdiel potenciálov, nie priamo hodnota potenciálu. Aj to sa dá formulovať ako istá symetria teórie. Transformácia to je však v úplne inom priestore – v hodnotách poľa.
Symetrie sú kľúčovým nástrojom na budovanie fyzikálnych modelov v teoretickej fyzike. Poviete si, aké objekty by mala vaša teória popisovať a aké symetrie by dynamika tejto teórie mala mať – aké transformácie by ju nemali meniť. Ak máte obsah a symetrie teórie, existuje celkom priamočiary spôsob, ktorý sa napríklad u nás na matfyze učí na fyzike v druhom ročníku, a to ako napísať všetky možné povolené teórie. A potom treba už iba riešiť pohybové rovnice a hľadať predpovede modelu.
V kvantovej mechanike
A teraz prichádza háčik. Symetrie v kvantovej mechanike fungujú trochu komplikovanejšie ako v klasickej a grupy nám už nemusia stačiť. Pôvodom tohto rozdielu je princíp superpozície – to, že fyzikálny systém sa môže nachádzať v dvoch rozličných stavoch súčasne. Napríklad elektrón môže byť v superpozícii stavu na Zemi a na Mesiaci. A toto vedie k iným matematickým štruktúram v teoretickom popise. V klasickej fyzike existuje čosi podobné – elektrón na polceste medzi Zemou a Mesiacom –, ale to je niečo úplne iné ako kvantovo-mechanická superpozícia.
Možno ste už počuli, že kvantovanie gravitácie predstavuje pre ľudí problém. A to nie preto, že by sa málo snažili. Naopak, existuje niekoľko rôznych prístupov, ako problém kvantovej gravitácie obísť. Jedným z nich je idea, že pre kvantovú gravitáciu sú na vhodný popis symetrií užitočné komplikovanejšie matematické štruktúry. A tie matematičky a matematici študujú so šarmom sebe vlastným. Jednou z týchto snáh je napríklad projekt agentúry COST s názvom CaLISTA, v ktorom sa študujú kvantové grupy a prístup k diferenciálnej geometrii Lieho teóriou a z ktorého konferencie píšem tento článok.
Juraj Tekel
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave
Viac podobných článkov nájdete na stránke vedator.space.
