Predstavte si, že pri turistike na Slovensku objavíte jaskyňu, do ktorej tisíc rokov nevkročila ľudská noha, a pri bližšej prehliadke nájdete na stene mayské hieroglyfy. Asi takto nejako sa v roku 1978 mohol cítiť matematik John McKay.
V tom čase J. McKay skúmal tzv. j-funkciu, objavujúcu sa v teórii, ktorej sa v tých rokoch venoval. Túto funkciu, rovnako ako aj každú inú, možno chápať ako isté pravidlo, podľa ktorého vieme priradiť vybranému číslu (vstupu) nejaké ďalšie číslo (výstup). Keďže je však j-funkcia pomerne komplikovaná, pri práci s ňou často používame isté zjednodušenia. Na tento účel využívame jej koeficienty – ide o akúsi nekonečnú postupnosť čísel, ktorá v sebe skrýva informácie o danej funkcii a jej pravidle. Koeficienty j-funkcie sú 196884, 21493760, 864299970, 20245856256…
Pre takmer každého človeka by to bol iba obyčajný zhluk náhodne vyzerajúcich čísel. McKay si však uvedomil, že to prvé číslo sa veľmi podobá na niečo, čo už kedysi videl.
Symetrie a ich atómy
Presuňme sa na chvíľu do úplne inej oblasti matematiky, matematiky venujúcej sa štúdiu symetrií. Predstavme si obyčajný štvorec. Keď ho otočíme okolo stredu o 90 stupňov alebo ho preklopíme podľa niektorej z jeho osí symetrie, dostaneme opäť ten istý útvar. Tieto transformácie tvoria grupu symetrií daného útvaru, v tomto prípade štvorca.
Treba však povedať aj to, že grupa obsahuje okrem symetrií aj informácie o ich vzájomných vzťahoch. Napríklad ak štvorec prevrátime podľa jednej jeho uhlopriečky a následne podľa druhej, dostaneme rovnaký výsledok, ako keby sme štvorec otočili o 180 stupňov. Grupy slúžia práve na zachytenie takýchto informácií a prácu s nimi.
Grupy sú tiež veľmi užitočné pri teóriách elementárnych častíc a interakcií. Napríklad poznáme tri typy kvarkov – zelené, modré a červené. Teória popisujúca ich interakcie však ostane nezmenená, keď vymeníme kvarky jednej farby za kvarky inej farby a naopak, čo vedie k farebnej grupe symetrií.
Tak ako väčšina vecí, aj grupy môžu byť veľmi komplikované. Vždy sa však dajú poskladať z akýchsi stavebných grúp, grupových atómov. Jeden z veľkých úspechov matematiky posledných desaťročí je práve klasifikácia týchto atómov (v prípade konečných grúp). Ide o monumentálne dielo pozostávajúce z desaťtisícov strán komplexných matematických dôkazov publikovaných množstvom matematikov v priebehu asi 50 rokov. Výsledkom je zoznam obsahujúci isté kategórie grúp a k tomu menší zoznam pozostávajúci z 26 zvláštnych grúp, ktoré nesú rozličné mená, zväčša po svojich objaviteľoch. Ako to už býva, špeciálnu úlohu v tejto skupine hrá najväčšia z tejto dvadsaťšestky, tzv. monštrum (to je skutočne odborný názov tejto grupy).
Kvarky, gluóny a monštrum
Každej grupe možno priradiť istú skupinu čísel – tieto čísla opisujú, koľko rozmerov môžu mať priestory, v ktorých túto grupu možno nájsť ako nejakú grupu symetrií. Tak napríklad grupe symetrií štvorca môžeme priradiť (okrem iného) číslo 2, pretože ju možno chápať ako transformácie v 2D rovine. Farebnej grupe súvisiacej s kvarkami prislúchajú čísla 3, 8… – to zodpovedá práve tomu, že máme tri typy kvarkov a silná interakcia medzi nimi je sprostredkovaná ôsmimi typmi gluónov. Nuž a čo dostaneme pre monštrum? Ukazuje sa, že príslušné čísla sú trochu väčšie, konkrétne 1, 196883, 21296876, 842609326…
McKay si uvedomil, že koeficient j-funkcie 196884 sa dá napísať ako súčet prvých dvoch čísel z tohto zoznamu 196884 = 196883 + 1. Podobné vlastnosti mali však aj ďalšie koeficienty, napríklad 21493760 = 21296876 + 196883 + 1.
Všetko nasvedčovalo tomu, že nejde o náhodu, ale myšlienka na prepojenie takých odlišných oblastí bola taká šialená, že tento objav dostal pomenovanie Monstrous moonshine (monštruózna šialenosť).
V súčasnosti už vieme, že medzi týmito dvoma oblasťami existuje súvis, ktorý je zodpovedný za tento neočakávaný fenomén. Čo je však nečakané, je skutočnosť, že tento súvis prichádza z fyziky, konkrétne z oblasti konformnej teórie poľa a teórie strún. Za plné vybudovanie prepájajúceho mosta vďačíme viacerým matematikom a fyzikom. Finálny dôkaz bol dovŕšený Richardom Borcherdsom, ktorý aj za túto prácu dostal v roku 1998 Fieldsovu medailu.
Fridrich Valach
Imperial College London
Viac podobných článkov nájdete na stránke vedator.space.
