V 16. storočí položil sir Walter Raleigh matematikovi Thomasovi Harriotovi otázku: Ako možno najefektívnejšie naukladať sadu delových gulí na jednu kopu?
Traduje sa, že táto úloha sa týkala jeho dobrodružných námorných výprav do Nového sveta. O to prekvapivejšie je, že nakoniec vyústila v dobrodružnú cestu matematikov – cestu, ktorá trvá doteraz a nedávno ich priviedla aj k Fieldsovej medaile.
Keplerova domnienka
Presnejšie povedané, otázka znie: Keď máme veľké množstvo rovnako veľkých gulí, ako ich možno naukladať do veľkej krabice tak, aby sa ich tam zmestilo čo najviac?
Predstavme si napríklad, že chceme v prepravke preniesť väčšie množstvo pomarančov. Namiesto počtu gulí či pomarančov je praktickejšie pozerať sa na percento objemu, ktoré budú naše pomaranče zaberať. Chceme teda nájsť usporiadanie, pri ktorom bude toto percento najväčšie.
Experiment ukazuje, že pri náhodnom rozhodení gulí alebo pomarančov vyplníme asi 64 % objemu našej nádoby. Ak namiesto toho postupujeme systematicky, je ľahké prísť s pyramídovým usporiadaním, ktoré vedie k približne 74-percentnému zaplneniu. Môžeme to však urobiť ešte efektívnejšie? Astronóm Johannes Kepler vo svojom diele O šesťhrannej snehovej vločke v roku 1611 vyslovil domnienku, že efektívnejší postup neexistuje.
Pomalý postup
Po zhruba dvoch storočiach matematik Carl Friedrich Gauss dokázal, že ak obmedzíme naše hľadanie iba na pravidelné usporiadania, tak uvedené pyramídové rozmiestnenie je to najlepšie možné. Ako je to však s nepravidelnými usporiadaniami? Sme si istí, že neexistuje nepravidelné usporiadanie gulí, ktoré je efektívnejšie ako to pyramídové? Na ďalší postup sme si museli počkať mnoho desaťročí.
Istá nádej svitla v 50. rokoch 20. storočia, keď maďarský matematik László Fejes Tóth ukázal, že problém sa dá v princípe previesť na preskúmanie istého konečného – nanešťastie obrovského – množstva prípadov. Netrvalo potom ani 50 rokov a v roku 1998 americký matematik Thomas Callister Hales oznámil, že sa mu pomocou počítača a po zredukovaní počtu možností podarilo všetky možnosti rad za radom prejsť a ukázať, že žiadne efektívnejšie nepravidelné usporiadanie neexistuje.
Nanešťastie, dôkaz bol priveľmi komplikovaný a bolo preto ťažké do detailu ho skontrolovať. Aj keď matematická komunita po dôkladnej analýze dôkaz prijala, T. C. Hales sa rozhodol, že ho prepracuje. V spolupráci s ďalšími kolegami preto strávil ďalších 12 rokov prerobením dôkazu do formy, ktorú mohol následne skontrolovať špecializovaný matematický softvér. Výsledok bol úspešne publikovaný v roku 2017.
Viac rozmerov
Pre niekoho by sa mohlo zdať, že sa tým kapitola uzavrela. Matematikov však prirodzene zaujímali otázky: Ako je to vo vyšších rozmeroch? Aký je najefektívnejší spôsob, ako naukladať napríklad štvorrozmerné gule do štvorrozmernej krabice? Ako je to v piatich rozmeroch? A tak ďalej. Vieme sa takto dozvedieť niečo nové a zaujímavé?
Odpoveď je kladná. V prvom rade však treba povedať, že efektívne ukladanie viacrozmerných gulí je zložitý problém a jeho riešenie vo všeobecnosti nepoznáme. V skutočnosti okrem prípadov v 1D, 2D a 3D poznáme riešenie iba v dvoch ďalších počtoch rozmerov. Prekvapivo ide o prípady v ôsmich a dvadsiatich štyroch rozmeroch!
V roku 2016 totiž prišla ukrajinská matematička Maryna Viazovská na elegantný spôsob, ako problém vyriešiť v ôsmich rozmeroch a zakrátko na to v spolupráci s kolegami vyriešili problém aj v 24 rozmeroch. V oboch prípadoch je výsledok spätý so zaujímavým objektom – v prvom prípade ide o tzv. výnimočnú Lieovu grupu E₈ a v druhom o tzv. Leechovu mriežku. Oba tieto objekty sú dobre známe matematikom aj teoretickým fyzikom, hrajú napríklad významnú úlohu v teórii strún. Za spomínané dôkazy M. Viazovskej pred niekoľkými týždňami udelili najvyššie matematické ocenenie – jednu zo štyroch Fieldsových medailí.
Fridrich Valach
Imperial College London
